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第十四回 様々なサイクル

前回に続き,他の基本的なガスサイクルについて説明する.この節においても圧力を$p$,体積を$V$,温度を$T$,エントロピーを$S$$U$を内部エネルギー,$Q$を系が受ける熱量,$W$を系が外部に及ぼす仕事,$m$を質量,$C_V$を定容熱容量( $=m c_v=\frac{m }{\kappa-1}R$),$C_p$を定容熱容量( $=m c_p=\frac{m \kappa }{\kappa-1}R$)とし,添え字は状態を表すこととする.

14.1 スターリングサイクル(Stiring Cycle)

スターリングサイクルはスコットランドの牧師であるスターリングによって1816年に考案されたサイクルであり,外部から加熱し,冷却する外燃機関である.スターリングサイクルの$pV$線図および$TS$線図を図1と2に示す.過程1$\to$2は等温圧縮,過程2$\to$3は定容加熱,過程3$\to$4は等温膨張,過程4$\to$1は定容冷却からなる.

\includegraphics[width=\linewidth]{stirling-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{stirling-ts.eps}
図1 スターリンサイクルの$pV$線図 図2 スターリンサイクルの$TS$線図

  • 1$\to$2 等温圧縮過程

等温過程により内部エネルギーの変化 $\Delta U_{12}=0$.外部に行う仕事は等温変化により$pV$=const.より,圧縮比を$\epsilon$とすると,

\begin{displaymath}
W_{12}=\int_1^2 p dV=\int_1^2 \frac{p_1 V_1}{V} dV= m R T_1 \ln\frac{V_2}{V_1}=mR T_1 \ln \frac{1}{\epsilon}
\end{displaymath} (1)

熱力学第一法則より,系が受け取る熱量$Q_{12}$

\begin{displaymath}
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=0 + W_{12}=m R T_1 \ln\frac{V_2}{V_1}=m R T_1 \ln \frac{1}{\epsilon}
\end{displaymath} (2)

  • 2$\to$3 定容加熱過程

定容加熱過程により,外部に行う仕事 $W_{23}=\int_2^3 p dV=0$.内部エネルギーの変化$\Delta U_{23}$

\begin{displaymath}
\Delta U_{23}=C_V(T_3-T_2)
\end{displaymath} (3)

よって,系が受け取る熱量は熱力学第一法則により

\begin{displaymath}
Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=\Delta U_{23} + 0= C_V(T_3-T_2)
\end{displaymath} (4)

  • 3$\to$4 等温膨張過程

過程1$\to$2と同様に内部エネルギーの変化 $\Delta U_{12}=0$.外部に行う仕事は,

\begin{displaymath}
W_{34}=\int_3^4 p dV=\int_3^4 \frac{p_3 V_3}{V} dV= m R T_3 \ln\frac{V_4}{V_3}=m R T_3 \ln \epsilon
\end{displaymath} (5)

同様に,系が受け取る熱量$Q_{34}$

\begin{displaymath}
Q_{34}=W_{34}=m R T_3 \ln \epsilon
\end{displaymath} (6)

  • 4$\to$1 定容冷却過程

過程2$\to$3と同様に,外部に行う仕事$W_{41}=0$.内部エネルギーの変化$\Delta U_{41}$

\begin{displaymath}
\Delta U_{41}=C_V(T_1-T_4)
\end{displaymath} (7)

同様に,系が受け取る熱量$Q_{41}$

\begin{displaymath}
Q_{41}= C_V(T_1-T_4)
\end{displaymath} (8)

よって,熱効率$\eta$は,

$\displaystyle \eta=\frac{W}{Q_{23}+Q_{34}}=\frac{Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}}{Q...
...isplaystyle \frac{1}{\epsilon}+C_V(T_1-T_4)}{C_V(T_3-T_2)+m R T_3 \ln \epsilon}$     (9)

今,$T_1=T_2$$T_4=T_3$より,

$\displaystyle \eta$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1+\frac{m R T_1 \ln \displaystyle \frac{1}{\epsilon}+C_V(T_1-T_3)...
...tyle \frac{m R}{\kappa-1}T_1\Bigl(\frac{T_3}{T_1}-1\Bigr)+m R T_3 \ln \epsilon}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \frac{1}{\kappa-1}\Bigl(\frac{T_3}{T_1}-1 \...
... \frac{1}{\kappa-1}\Bigl(\frac{T_3}{T_1}-1 \Bigr) +\frac{T_3}{T_1}\ln \epsilon}$ (10)

14.2 エリクソンサイクル(Ericsson Cycle)

エリクソンサイクルはブレイトンサイクルと同様に定圧の加熱過程と冷却過程を持つが,それらを結ぶ過程が等温過程となっている.エリクソンサイクルの$pV$線図および$TS$線図を図3と4に示す.過程1$\to$2は等温圧縮,過程2$\to$3は定容加熱,過程3$\to$4は等温膨張,過程4$\to$1は定容冷却からなる.

\includegraphics[width=\linewidth]{ericsson-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{ericsson-ts.eps}
図3 エリクソンサイクルの$pV$線図 図4 エリクソンサイクルの$TS$線図

  • 1$\to$2 等温圧縮過程

等温過程により内部エネルギーの変化 $\Delta U_{12}=0$.外部に行う仕事は等温変化により$pV$=const.より,圧力比を $p_2/p_1=p_3/p_4=\zeta$とすると,

\begin{displaymath}
W_{12}=\int_1^2 p dV=\int_1^2 \frac{p_1 V_1}{V} dV= m R T_1 \ln\frac{V_2}{V_1}=-mRT_1\ln \frac{p_2}{p_1}=-mRT_1 \ln \zeta
\end{displaymath} (11)

熱力学第一法則より,系が受け取る熱量$Q_{12}$

\begin{displaymath}
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=0 + W_{12}=m R T_1 \ln\frac{V_2}{V_1}=-mRT_1 \ln \zeta
\end{displaymath} (12)

  • 2$\to$3 定圧加熱過程

定圧加熱過程により,$p_3=p_2$.外部に行う仕事 $W_{23}=\int_2^3 p dV=p_2 (V_3-V_2)=m R (T_3-T_2)$.内部エネルギーの変化$\Delta U_{23}$

\begin{displaymath}
\Delta U_{23}=C_V(T_3-T_2)
\end{displaymath} (13)

よって,系が受け取る熱量は熱力学第一法則により

\begin{displaymath}
Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=\Delta H_{23}= C_p(T_3-T_2)
\end{displaymath} (14)

  • 3$\to$4 等温膨張過程

過程1$\to$2と同様に内部エネルギーの変化 $\Delta U_{12}=0$.外部に行う仕事は,

\begin{displaymath}
W_{34}=\int_3^4 p dV=\int_3^4 \frac{p_3 V_4}{V} dV= m R T_3 \ln\frac{V_4}{V_3}=m R T_3 \ln \frac{p_3}{p_4}=m R T_3 \ln \zeta
\end{displaymath} (15)

同様に,系が受け取る熱量$Q_{34}$

\begin{displaymath}
Q_{34}=W_{34}=m R T_3 \ln \zeta
\end{displaymath} (16)

  • 4$\to$1 定圧冷却過程

過程2$\to$3と同様に,外部に行う仕事 $W_{41}=p_1(V_1-V_4)=m R (T_1-T_4)$.内部エネルギーの変化$\Delta U_{41}$

\begin{displaymath}
\Delta U_{41}=C_p(T_1-T_4)
\end{displaymath} (17)

同様に,系が受け取る熱量$Q_{41}$

\begin{displaymath}
Q_{41}= C_p(T_1-T_4)
\end{displaymath} (18)

よって,熱効率$\eta$は,

$\displaystyle \eta=\frac{W}{Q_{23}+Q_{34}}=\frac{Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}}{Q...
...{34}}=1-\frac{m R T_1 \ln \zeta - C_p(T_1-T_4)}{C_p(T_3-T_2)+m R T_3 \ln \zeta}$     (19)

ここで,等温変化により$T_1=T_2$$T_3-T_4$から,

$\displaystyle \eta$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1-\frac{m R T_1 \ln \zeta - C_p(T_1-T_3)}{C_p(T_3-T_1)+m R T_3 \l...
...ppa-1}\Bigl(\frac{T_3}{T_1}-1 \Bigr)+m R \displaystyle\frac{T_3}{T_1}\ln \zeta}$ (20)
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1-\frac{\ln \zeta+ \displaystyle \frac{\kappa }{\kappa-1}\Bigl(\f...
...\kappa-1}\Bigl(\frac{T_3}{T_1}-1 \Bigr)+ \displaystyle\frac{T_3}{T_1}\ln \zeta}$ (21)

14.3 サバテサイクル(Sabathe Cycle)

サバテサイクルはオットーサイクルとディーゼルサイクルを複合した合成サイクルであり,高速ディーゼル機関の基準サイクルである.このサイクルは断熱圧縮,定容加熱,定圧加熱,断熱膨張,定容冷却の5つの過程からなる.ここでは,詳細な導出は省略するが,サバテサイクルにおいて,圧縮比 $V_1/V_2=\epsilon$,圧力上昇比$p_3/p_2=\rho$,定圧膨張比 $V_4/V_3=\sigma$とすると,熱効率$\eta$は,

\begin{displaymath}
\eta=1-\Bigl( \frac{1}{\epsilon}\Bigr)^{\kappa-1}\frac{\sigma^\kappa \rho -1}{(\rho-1)+\kappa \rho(\sigma - 1)}
\end{displaymath} (22)

\includegraphics[width=\linewidth]{sabathe-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{sabathe-ts.eps}
図5 サバテサイクルの$pV$線図 図6 サバテサイクルの$TS$線図

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