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第十三回 ガスサイクルと効率

13.1 ガスサイクル

一般的な内燃機関のような熱機関において,熱損失や摩擦などの損失を考慮せずに理想化し,作動流体を比熱一定の理想気体で置き換え,可逆過程からなる理想サイクルをガスサイクルという.ガスサイクルの理想はカルノー(Carnot)サイクルである.しかし,現実にはガスを作動流体としてカルノーサイクルを実現するのは,圧縮比が非常に大きくなり実現できない.ここでは,いくつかの基本的なガスサイクルについて説明する.この節においても圧力を$p$,体積を$V$,温度を$T$,エントロピーを$S$$U$を内部エネルギー,$Q$を系が受ける熱量,$W$を系が外部に及ぼす仕事,$m$を質量,$C_V$を定容熱容量( $=m c_v=\frac{m }{\kappa-1}R$),$C_p$を定容熱容量( $=m c_p=\frac{m \kappa }{\kappa-1}R$)とし,添え字は状態を表すこととする.ここでも基本となる式は$Q=\Delta U +W$の熱力学第一法則である.

13.2 オットーサイクル(Otto Cycle)

オットー(Otto)サイクルは受熱と放熱が定容過程で行われるため,定容サイクルと呼ばれる.オットーサイクルの$pV$線図および$TS$線図を図1と2に示す.

\includegraphics[width=\linewidth]{otto-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{otto-ts.eps}
図1 オットーサイクルのpV線図 図2 オットーサイクルのTS線図

  • 1$\to$2 断熱圧縮過程

系が受け取る熱量は,熱力学第一法則および断熱変化から

\begin{displaymath}
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=0
\end{displaymath} (1)

系が外部に及ぼす仕事$W_{12}$および内部エネルギーの変化$\Delta U_{12}$

$\displaystyle \Delta U_{12}$$\textstyle =$$\displaystyle C_V(T_2-T_1)=-W_{12}$ (2)

断熱変化により($pV^\kappa$=const.), $T_1V_1^{\kappa-1}=T_2V_2^{\kappa-1}$となり,圧縮比 $V_1/V_2=\epsilon$とすると,

\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\Bigl(\frac{V_2}{V_1} \Bigr)^{\kappa-1}=\Bigl(\frac{1}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1}
\end{displaymath} (3)

  • 2$\to$3 定容加熱過程

定容過程であるため,外部に及ぼす仕事$W_{23}$

\begin{displaymath}
W_{23}=\int_2^3 p dV=0
\end{displaymath} (4)

系が受け取る熱量は$Q_{23}$および内部エネルギー変化$\Delta U_{23}$は定容過程より

$\displaystyle \Delta U_{23}$$\textstyle =$$\displaystyle C_V(T_3-T_2)=Q_{23}$ (5)

  • 3$\to$4 断熱膨張過程

系が受け取る熱量は,熱力学第一法則および断熱変化から

\begin{displaymath}
Q_{34}=\Delta U_{34}+W_{34}=0
\end{displaymath} (6)

系が外部に及ぼす仕事$W_{34}$および内部エネルギーの変化$\Delta U_{34}$

$\displaystyle \Delta U_{34}$$\textstyle =$$\displaystyle C_V(T_4-T_3)=-W_{34}$ (7)

先ほどと同様に断熱変化により, $T_3V_3^{\kappa-1}=T_4V_4^{\kappa-1}$となり, $V_1/V_2=V_4/V_3$から,

\begin{displaymath}
\frac{T_4}{T_3}=\Bigl(\frac{V_3}{V_4} \Bigr)^{\kappa-1}=\Bigl(\frac{1}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1}
\end{displaymath} (8)

  • 4$\to$1 定容冷却過程

定容過程であるため,外部に及ぼす仕事$W_{41}$

\begin{displaymath}
W_{41}=\int_4^1 p dV=0
\end{displaymath} (9)

系が受け取る熱量は$Q_{41}$および内部エネルギー変化$\Delta U_{41}$は定容過程より

$\displaystyle \Delta U_{41}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_V(T_4-T_1)=Q_{41}$ (10)

よって,オットーサイクルの熱効率$\eta$は,

$\displaystyle \eta$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{W}{Q_{\mathrm{in}}}=\frac{W_{12}+W_{34}}{Q_{23}}=\frac{Q_{23}+Q_{41}}{Q_{23}}=\frac{C_V(T_3-T_2)+C_V(T_1-T_4)}{C_V(T_3-T_2)}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1+\frac{T_1-T_4}{T_3-T_2}=1-\frac{T_1(\frac{T_4}{T_1}-1)}{T_2(\frac{T_3}{T_2}-1)} $ (11)

式(3),(8)より

\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_4}{T_3}よって,\frac{T_4}{T_1}=\frac{T_3}{T_2} 
\end{displaymath}よって,\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_4}{T_3} よって,\frac{T_4}{T_1}=\frac{T_3}{T_2} 
\end{displaymath} (12)

これを式(11)に代入し,式(3)を代入すると,

\begin{displaymath}
\eta=1-\frac{T_1}{T_2}=1-\Bigl(\frac{1}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1}
\end{displaymath} (13)

13.3 ディーゼルサイクル(Diesel Cycle)

ディーゼル(Diesel)サイクルは,圧縮点火機関の基準サイクルであり,受熱が定圧変化で行われることから,定圧サイクルともいわれる.ディーゼルサイクルの$pV$線図および$TS$線図を図3と4に示す.ディーゼルエンジンでは,空気をシリンダー内に吸入し,断熱圧縮によって温度を燃料の自己着火温度以上に上昇させ,燃料を直接噴射して燃焼させる.図で示されるように4つの状態変化からなる.

\includegraphics[width=\linewidth]{diesel-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{diesel-ts.eps}
図3 ディーゼルサイクルのpV線図 図4 ディーゼルサイクルのTS線図

  • 1$\to$2 断熱圧縮過程

系が受け取る熱量は,熱力学第一法則および断熱変化から

\begin{displaymath}
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=0
\end{displaymath} (14)

系が外部に及ぼす仕事$W_{12}$および内部エネルギーの変化$\Delta U_{12}$

$\displaystyle \Delta U_{12}$$\textstyle =$$\displaystyle C_V(T_2-T_1)=-W_{12}$ (15)

断熱変化により($pV^\kappa$=const.), $T_1V_1^{\kappa-1}=T_2V_2^{\kappa-1}$となり,圧縮比 $V_1/V_2=\epsilon$とすると,

\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\Bigl(\frac{V_2}{V_1} \Bigr)^{\kappa-1}=\Big...
...gr)^{\kappa-1} \hspace{3mm}よって,T_2=T_1\epsilon^{\kappa-1}
\end{displaymath}よって,\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\Bigl(\frac{V_2}{V_1} \Bigr)^{\kappa-1}=\Big...
...gr)^{\kappa-1} \hspace{3mm}よって,T_2=T_1\epsilon^{\kappa-1}
\end{displaymath} (16)

  • 2$\to$3 定圧加熱過程

定圧過程であるため,系が受け取る熱量はエンタルピー変化に等しい.

\begin{displaymath}
Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=\Delta H_{23}=C_p (T_3-T_2)
\end{displaymath} (17)

外部に及ぼす仕事$W_{23}$は,理想気体の状態方程式$pV=mRT$を用いて,

\begin{displaymath}
W_{23}=p_2(V_3-V_2)=m R(T_3-T_2)
\end{displaymath} (18)

内部エネルギーの変化は

\begin{displaymath}
\Delta U_{23}=Q_{23}-W_{23}=C_V(T_3-T_2)
\end{displaymath} (19)

ここでの体積変化の比< $\frac{V_3}{V_2}=\sigma$とし,この値を噴射締切比あるいは定圧膨張比とする.定圧過程より( $p=\frac{mRT}{V}$=const. すなわち,$\frac{T}{V}$=const.)より,

\begin{displaymath}
\frac{T_3}{V_3}=\frac{T_2}{V_2},\hspace{3mm}よって,\frac{T_3}{T_2}=\frac{V_3}{V_2}=\sigma
\end{displaymath}よって,\begin{displaymath}
\frac{T_3}{V_3}=\frac{T_2}{V_2},\hspace{3mm}よって,\frac{T_3}{T_2}=\frac{V_3}{V_2}=\sigma
\end{displaymath} (20)

式(16)を代入して,

\begin{displaymath}
T_3=T_2 \sigma=T_1 \sigma \epsilon^{\kappa-1}
\end{displaymath} (21)

  • 3$\to$4 断熱膨張過程

系が受け取る熱量は,熱力学第一法則および断熱変化から

\begin{displaymath}
Q_{34}=\Delta U_{34}+W_{34}=0
\end{displaymath} (22)

系が外部に及ぼす仕事$W_{34}$および内部エネルギーの変化$\Delta U_{34}$

$\displaystyle \Delta U_{34}$$\textstyle =$$\displaystyle C_V(T_4-T_3)=-W_{34}$ (23)

先ほどと同様に断熱変化により, $T_3V_3^{\kappa-1}=T_4V_4^{\kappa-1}$となり, $V_3/V_2=\sigma$より,

$\displaystyle \frac{V_3}{V_4}$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}\sigma=\frac{\sigma}{\epsilon}$ (24)
$\displaystyle \frac{T_4}{T_3}$$\textstyle =$$\displaystyle \Bigl(\frac{V_3}{V_4} \Bigr)^{\kappa-1}=\Bigl(\frac{\sigma}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1}$ (25)
$\displaystyle T_4$$\textstyle =$$\displaystyle T_3 \Bigl(\frac{\sigma}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1}$ (26)

式(16),(21)を代入して

\begin{displaymath}
T_4=T_1 \sigma^\kappa
\end{displaymath} (27)

  • 4$\to$1 定容冷却過程

定容過程であるため,外部に及ぼす仕事$W_{41}$

\begin{displaymath}
W_{41}=\int_4^1 p dV=0
\end{displaymath} (28)

系が受け取る熱量は$Q_{41}$および内部エネルギー変化$\Delta U_{41}$は定容過程より

$\displaystyle \Delta U_{41}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_V(T_4-T_1)=Q_{41}$ (29)

よって,ディーゼルサイクルの熱効率$\eta$は, $C_p/C_V=\kappa$より

$\displaystyle \eta$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{W}{Q_{\mathrm{in}}}=\frac{W_{12}+W_{23}+W_{34}}{Q_{23}}=\frac{Q_{23}+Q_{41}}{Q_{23}}=\frac{C_p(T_3-T_2)+C_V(T_1-T_4)}{C_p(T_3-T_2)}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1+\frac{T_1-T_4}{\kappa(T_3-T_2)}=1-\frac{T_1(\frac{T_4}{T_1}-1)}{\kappa T_2(\frac{T_3}{T_2}-1)} $ (30)

式(16),(21),(27)を代入して

$\displaystyle \eta=1-\Bigl(\frac{1}{\epsilon} \Bigr)^{\kappa-1} \frac{\sigma^\kappa-1}{\kappa(\sigma-1)}$ (31)

13.4 ブレイトンサイクル(Brayton Cycle)

ブレイトンサイクルは2組の断熱過程と定圧過程で構成される,ガスタービンの基本サイクルである.このサイクルは受熱と放熱が定圧過程で行われる.$pV$線図と$TS$線図を図56に示す.断熱圧縮,定圧加熱,断熱膨張,定圧冷却の4つの過程からなる.

\includegraphics[width=\linewidth]{brayton-pv.eps} \includegraphics[width=\linewidth]{brayton-ts.eps}
図5 ブレイトンサイクルのpV線図 図6 ブレイトンサイクルのTS線図

ここでは詳細な導出は省略するが,ブレイトンサイクルの熱効率$\eta$

$\displaystyle \eta$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{Q_{23}+Q_{41}}{Q_{23}}=\frac{\Delta H_{32}+\Delta H_{14}}{\Delta H_{32}}=\frac{C_p(T_3-T_2)+C_p(T_1-T_4)}{C_p(T_3-T_2)}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$ (32)

圧力比$p_2/p_1=r$とすると,

\begin{displaymath}
\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_4}{T_3}=\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}
\end{displaymath} (33)

よって,熱効率は

$\displaystyle 1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}=1-\frac{T_3\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)^{\fr...
...kappa-1}{\kappa}}}{T_3-T_2}=1-\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}$ (34)

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